통계: 자료 요약, 신뢰구간과 여섯 가지 검정

1. 원자료 숫자부터 시작하기

먼저 다음을 여세요: 숫자부터 시작하세요. 관측값을 쉼표, 공백, 탭, 줄바꿈으로 구분해 붙여넣고 다음을 선택하세요: 통계 계산. 소수점은 점(.)을 사용하며 음수와 과학적 표기법도 가능합니다. 머리글, 단위, 천 단위 구분 기호는 제외하세요: 1,000은 1과 0이라는 두 값으로 읽습니다. 쉼표 사이의 빈 항목은 오류입니다.

값 1~10,000개, 최대 200,000자를 입력할 수 있습니다. 각 숫자는 같은 가중치를 가지며 중복값도 개수에 포함됩니다. 기본 목록으로 해보세요: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

사분위수는 R 유형 7 보간을 사용합니다. 데이터를 정렬하고 0부터 시작하는 위치 (n − 1) × p를 사용합니다. 여기서 25백분위수의 위치는 7 × 0.25 = 1.75이므로 Q1은 두 번째 값에서 세 번째 값으로 가는 거리의 4분의 3 지점인 2.75입니다. 다른 정의에서는 사분위수가 다를 수 있습니다. 다음을 참고하세요: R 분위수 정의.

통계 복사 버튼은 현재 결과와 방법 설명을 복사합니다. 데이터를 수정하면 다시 계산할 때까지 이전 결과가 지워집니다. 관측값이 하나면 개수, 평균, 사분위수는 구할 수 있지만 표본분산, 표준편차, 표준오차, 평균의 구간은 두 개 이상이 필요합니다.

2. 산포와 불확실성 구분하기

표본표준편차(SD)는 표본평균 주변에 값이 흩어진 정도를 나타냅니다. 표본분산은 편차 제곱의 합을 n − 1로 나눈 것이며, 표준편차는 그 제곱근으로 원래 측정 단위를 사용합니다. 표준오차(SE)는 표본추출 모형하에서 추정 평균의 불확실성을 나타냅니다: 표본표준편차 / n의 제곱근. 분산이나 이미 계산한 표준오차가 아닌 표본표준편차를 입력하세요. 참고: NIST의 산포 측도.

요약값이 있다면 다음을 여세요: 요약 통계량이 이미 있나요? . 입력할 값: n = 25, 평균 = 50, 표본표준편차 = 10. 이 가상의 예제에서는 모집단 표준편차를 모르는 정규 모집단에서 독립적으로 무작위 관측했다고 가정합니다.

1. 표준오차: 10 / 25의 제곱근 = 2.
2. 자유도: 25 − 1 = 24.
3. 95% 스튜던트 t 임계값: 약 2.0639.
4. 오차한계: 2.06389856 × 2 = 약 4.1278.
5. 평균 ± 오차한계: 약 45.8722~54.1278.

평균 50과 표준편차 10을 유지하고 가상의 n = 100을 사용하면 SE = 1, 구간은 약 48.0158~51.9842입니다. 실제로 새 관측값을 더하면 평균이나 표준편차도 달라질 수 있습니다. NIST 스튜던트 t 표에서 임계값을 설명합니다.

이 구간의 추정 대상은 모집단 평균입니다. 유효한 표본추출을 반복하면 이렇게 만든 구간의 약 95%가 고정된 평균을 포함합니다. 개별 관측값의 95%를 포함한다는 뜻도, 이미 구한 이 구간 안에 고정된 평균이 있을 확률을 95%로 부여한다는 뜻도 아닙니다. 참고: NIST 평균의 신뢰한계.

독립성, 표본추출, 원자료를 확인하세요. 심한 비대칭이나 이상치는 특히 소표본에서 중요하며, 표본을 늘려도 편향이나 종속성은 해결되지 않습니다. 모든 값이 같은 데이터는 산술적으로 너비가 0인 구간을 만들지만 모집단 변동성이 0임을 입증하지는 않습니다. 이 단일 평균 구간은 비율 구간이나 예측구간이 아닙니다.

3. 어떤 비교 검정이 적합할까요?

독립표본 검정에서는 관측값이 집단 내에서도 집단 간에도 독립적이어야 합니다. 집단이 다르다고 독립성이 보장되지는 않습니다. 같은 대상의 전후 측정이나 의도적으로 매칭한 대상의 측정은 대응 자료입니다. 표본 크기가 같다는 것만으로는 대응 자료가 되지 않습니다. p값을 보기 전에 질문과 설계를 정하세요.

순위 기반 검정도 가정이 필요하며 모든 경우에 중앙값을 검정하는 도구는 아닙니다. 이러한 설계가 맞지 않으면 이 페이지에 적합한 검정이 없을 수 있습니다. SciPy의 공식 설명을 참고하세요: 독립표본 t 검정, 대응표본 t 검정, 맨–휘트니 U 및 부호순위 검정.

4. 표본과 방향 입력하기

1. 먼저 다음을 여세요: 두 표본 비교 에서 검정을 선택하세요.
2. 선택할 항목: 양측: A와 B가 다름 항목은 어느 방향의 차이든 검정합니다. 단측 대립가설은 결과를 살펴보기 전에 방향을 정한 경우에만 사용하세요.
3. 표본 A와 표본 B를 입력하세요. 독립표본 검정은 기술통계 도구와 같은 구분 기호를 사용합니다. 대응표본 검정은 한 줄에 숫자 하나만 입력하고, 행 수와 짝 순서가 같아야 하며 빈 행이 없어야 합니다. 각 표본을 따로 정렬하거나 알리지 않고 줄이지 않습니다.
4. 선택할 항목: 통계 검정 실행. 통계량, 표본 크기, p값, 계산 방법, 주의 사항을 함께 읽으세요. 검정 결과 복사 버튼으로 복사하면 방법과 주의 사항도 포함됩니다. 입력값을 수정하면 다시 실행할 때까지 이전 결과가 지워집니다.

차이의 정의는 A − B입니다. t 검정에서 “A가 B보다 큼”은 모집단 평균 차이를, 순위합 검정에서는 확률적 순서를, 부호순위 검정에서는 대칭적인 대응 차이의 양의 방향 이동을 뜻합니다. 각 입력란은 최대 관측값 10,000개와 문자 200,000자를 지원합니다. 누락값, 머리글, 잘못된 항목은 수정해야 합니다.

5. 네 가지 작은 비교 예제

계산을 확인하기 위한 가상의 예제입니다. 이 작은 데이터셋만으로 실제 연구가 가정을 충족한다고 볼 수 없습니다. 방향을 명시한 경우 외에는 양측 대립가설을 사용하세요.

독립표본 t 검정: 별개 집단

계산기의 기본 표본을 사용하세요: A = 14, 16, 15, 19, 18, 21 및 B = 12, 13, 15, 14, 16, 17. 각 집단에 서로 다른 대상 여섯 개가 있다고 생각해 보세요. 선택할 검정: 독립표본 t 검정(웰치).

평균 차이는 2.6667이며, 표준오차는 1.3208입니다. 나누면 t = 2.0190이며, 웰치–새터스웨이트 자유도 = 9.0114 및 p = 0.074200입니다. 평균 차이의 양측 95% 구간은 −0.3206~5.6539입니다. 이 결과는 평균이 같음을 입증하지 않으며, 구간은 불확실성을 보여줍니다.

대응표본 t 검정: 짝지은 행

매칭된 대상 다섯 개에서 A는 이후, B는 이전 측정값으로 사용하세요. 각 열에 한 줄에 하나의 값을 입력하고 행의 짝을 유지하세요:

선택할 항목: 대응표본 t 검정. 차이의 평균은 2.4 이고 표준오차는 0.5099이며, 결과는 t = 4.7068, 자유도 = 4 및 p = 0.009262입니다. 평균 차이의 양측 95% 구간은 0.9843~3.8157입니다. 모형은 두 열 각각의 정규성이 아닌 차이의 분포에 관한 것입니다. 전후 차이만으로 인과관계가 입증되지도 않습니다.

순위합: 독립적인 관측값

선택할 항목: 윌콕슨 순위합 검정(맨–휘트니 U). 사용할 값: A = 8, 11, 14, 17 및 B = 2, 5, 9, 12. 합친 데이터에서 A의 순위는 3, 5, 7, 8이므로 순위합은 W_A = 23 및 U_A = 23 − 4 × 5 / 2 = 13입니다. 정확 양측 검정 결과: p = 0.2입니다. 합친 관측값이 8개이고 동률이 없으므로 정확 계산을 적용합니다.

TinkerMint는 A의 U를 보고하고 B의 U는 세부 정보에 표시합니다. 둘 중 작은 값으로 대체하지 않습니다. 이 도구는 순위 검정의 신뢰구간을 보고하거나 결과를 일반적인 중앙값 비교로 바꾸지 않습니다.

부호순위: 양의 대응 변화

선택할 항목: 윌콕슨 부호순위 검정. 입력할 값: A = 11, 12, 13, 14, 15 및 B = 10, 10, 10, 10, 10을 각 입력란에 한 줄에 하나씩 입력하세요. 다섯 차이는 1, 2, 3, 4, 5입니다. 절댓값 순위는 1~5이며 모두 양수이므로 W+ = 15, W− = 0이며 정확 양측 검정 결과는 p = 0.0625.

양의 방향을 사전에 정했다면, 단측: A가 B보다 큼 선택 시 결과: p = 0.03125입니다. 어느 p값이 더 작은지 본 뒤 방향을 바꾸지 마세요. TinkerMint는 양측 검정에서도 항상 W+를 표시합니다. 일부 소프트웨어는 대신 더 작은 부호순위합을 표시합니다.

6. 방법과 한계 읽기

• 정확 순위합 검정: 합친 데이터에 동률이 없고 총 관측값이 30개 이하여야 합니다.
• 정확 부호순위 검정: 최대 30쌍이며, 차이가 0인 쌍과 절댓값 동률이 없어야 합니다. A 또는 B의 반복값만으로는 이 조건을 판단하지 않으며 대응 차이로 판단합니다.
• 그 외 순위 검정: 동률 보정 분산과 0.5 연속성 보정을 적용한 정규근사를 사용합니다. 부호순위 검정은 순위를 매기기 전에 차이가 0인 쌍을 제외합니다(윌콕스 규칙). 0이 아닌 차이의 절댓값이 같으면 평균 순위를 부여합니다. 유효한 0이 아닌 차이의 쌍 수를 표시합니다.
• 소표본 경고: 표본이 작거나 동률이 많으면 근사 정확도가 낮을 수 있습니다. 정규근사를 사용할 때 순위합 검정은 어느 한 집단이라도 값이 10개 미만이면, 부호순위 검정은 0이 아닌 차이의 쌍이 10개 미만이면 경고합니다. 필요하면 전문적인 정확 검정이나 순열 분석을 고려하세요. 이 계산기는 순열 시뮬레이션을 실행하지 않습니다.
• 정의되지 않는 추론: 표준오차가 0인 t 검정, 합친 값이 모두 같은 순위합 검정, 모든 차이가 0인 부호순위 검정은 p값 대신 설명을 표시합니다.

이는 TinkerMint의 방법 적용 기준과 통계량 보고 규칙입니다. 다른 패키지는 기본값이 다를 수 있으므로 숫자와 함께 방법도 비교하세요.

표시되는 t 검정 구간은 단측 검정에서도 항상 양측 95%입니다. 따라서 단측 p값이 0.05보다 작아도 구간에 0이 포함될 수 있습니다. 구간은 수치적으로 정의되는 경우 t 검정에만 제공됩니다.

p값은 가정하에서 데이터가 귀무모형과 얼마나 부합하는지 나타냅니다. 귀무가설이 참일 확률, 효과의 크기, 실질적 중요성의 증거가 아닙니다. p값이 크다고 동등함이 증명되지는 않습니다. 반복 검정, 편향된 표본추출, 종속성, 적합하지 않은 분포에는 계산기가 대신할 수 없는 판단이 필요합니다.

브라우저 숫자는 대략 유효숫자 15~17자리를 유지합니다. 원자료는 0이거나 절댓값이 1e−100부터 1e150 사이여야 합니다. 절대 크기가 큰 거의 같은 값은 동일해질 수 있으며, 대응 차이의 뺄셈이 의도한 동률을 바꿀 수 있습니다. 측정 정밀도를 일관되게 유지하고 필요하면 척도를 조정하세요. 표현할 수 없는 구간은 사용 불가로, 언더플로가 발생한 p값은 수학적 0이 아닌 수치 한계 미만으로 표시됩니다.

7. 카이제곱 검정: 범주별 빈도 비교

사용할 항목: 카이제곱 검정과 피셔의 정확 검정 (독립적인 각 관측값이 하나의 행 범주와 하나의 열 범주에 속하는 경우). 백분율이나 측정값이 아닌 빈도를 입력하세요. 각 행을 새 줄에 입력하고, 열 개수를 맞추며, 누락된 셀이나 빈 행을 남기지 마세요.

선택할 항목: 피어슨 카이제곱 독립성 검정. 입력할 값: 10 10 20 (첫째 줄) 및 20 20 20 (둘째 줄). 총빈도: 100. 행 합계 × 열 합계 / 전체 합계로 계산한 기대빈도: 12 12 16 및 18 18 24.

계산 결과: χ² = 2.777777778, 자유도 = 2 및 p = 0.2493522088. 이 값과 일치하는 참고 예제: SciPy 카이제곱 검정 예제. p값은 항상 카이제곱 분포의 오른쪽 꼬리를 사용하며, 방향성 대립가설은 없습니다. TinkerMint는 예이츠 보정이나 몬테카를로 표본추출을 사용하지 않습니다.

기대빈도 경고를 확인하세요. 셀 빈도가 작은 표에서는 이 근사가 부정확할 수 있습니다. 적합한 2 × 2 연구 설계라면 피셔의 정확 검정을 고려하세요. 개별 셀의 0은 유효한 빈도지만, 한 행이나 열 전체가 0이면 여기서는 추론이 정의되지 않습니다. 빈 범주를 임의로 삭제하지 말고 먼저 검토하세요.

8. 피셔의 정확 검정: 작은 2 × 2 표

도구: 카이제곱 검정과 피셔의 정확 검정. 선택할 항목: 피셔의 정확 검정(2 × 2) 및 양측: 오즈비가 1과 다름. 기본 예제 행을 유지하세요: 6 2 및 1 4. 표본 오즈비: (6 × 4) / (2 × 1) = 12 및 p = 0.1025641026.

방향을 미리 정했다면, 단측: 오즈비가 1보다 큼 선택 시 결과: p = 0.08624708625입니다. 행이 [[a, b], [c, d]]일 때 ‘큼’은 1행에서 1열에 속할 오즈가 2행에서의 오즈보다 크다는 뜻이고, ‘작음’은 오즈비가 1보다 작다는 뜻입니다. 두 행 또는 두 열의 순서를 바꾸면 방향도 반대로 바뀝니다.

피셔의 정확 검정은 관측된 행 합계와 열 합계를 고정합니다. 확률 순서에 따른 양측 계산은 한쪽 꼬리확률을 두 배로 하는 대신, 합계가 같은 가능한 표 중 발생 확률이 관측된 표의 확률 이하인 표들의 확률을 더합니다. 이 결과와 일치하는 참고 예제: SciPy 피셔의 정확 검정 예제. 두 예제 모두 통계적 유의성, 가정의 충족 여부나 실질적 중요성을 보장하지 않습니다. p값이 크다고 독립성이 입증되는 것도 아닙니다.