Статистика: сводные показатели, доверительные интервалы и шесть критериев

1. Начните с исходных чисел

Откройте Начните с ваших чисел. Вставьте наблюдения, разделённые запятыми, пробелами, табуляцией или переносами строк, затем выберите Рассчитать статистики. Десятичный разделитель — точка; поддерживаются отрицательные числа и научная запись. Уберите заголовки, единицы и разделители тысяч: 1,000 читается как два значения, 1 и 0. Пустые поля между запятыми считаются ошибками.

Инструмент принимает 1–10 000 значений и до 200 000 символов. Каждое число имеет одинаковый вес; повторы тоже учитываются. Попробуйте список по умолчанию: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Квартили используют интерполяцию типа 7 в R. Отсортируйте данные и используйте позицию (n − 1) × p с нумерацией от нуля. Для 25-го процентиля здесь 7 × 0.25 = 1.75, поэтому Q1 находится на трёх четвертях пути между вторым и третьим значениями: 2.75. Другие соглашения могут давать иные квартили. См. определения квантилей в R.

Скопировать статистики копирует текущий результат и примечания о методе. Изменение данных убирает старый результат до нового расчёта. При одном наблюдении доступны количество, среднее и квартили, но для выборочной дисперсии, SD, SE и интервала среднего нужно хотя бы два.

2. Различайте разброс и неопределённость

Выборочное стандартное отклонение (SD) описывает разброс вокруг выборочного среднего. Выборочная дисперсия делит сумму квадратов отклонений на n − 1; SD — её квадратный корень в исходных единицах измерения. Стандартная ошибка (SE) описывает неопределённость оценки среднего в рамках модели выборки: выборочное SD / квадратный корень из n. Вводите выборочное SD, а не дисперсию или уже рассчитанную SE. См. меры масштаба NIST.

Уже есть сводные данные? Откройте Уже есть сводные статистики? и введите n = 25, среднее = 50, выборочное SD = 10. В этом вымышленном примере предполагаются независимые случайные наблюдения из нормальной генеральной совокупности с неизвестным SD.

1. SE: 10 / квадратный корень из 25 = 2.
2. Степени свободы: 25 − 1 = 24.
3. 95%-е критическое значение Стьюдента: примерно 2.0639.
4. Предел погрешности: 2.06389856 × 2 = примерно 4.1278.
5. Среднее ± погрешность: приблизительно от 45.8722 до 54.1278.

Если сохранить среднее 50 и SD 10, но взять условное n = 100, получим SE = 1 и интервал примерно от 48.0158 до 51.9842. В реальности новые наблюдения могут изменить среднее и SD. Таблица распределения Стьюдента NIST объясняет критические значения.

Интервал оценивает среднее генеральной совокупности. При повторных корректных выборках около 95% построенных так интервалов содержали бы фиксированное среднее. Он не содержит 95% отдельных наблюдений и не задаёт вероятность 95% для попадания фиксированного среднего внутрь уже построенного интервала. См. доверительные границы среднего NIST.

Проверьте независимость, отбор и исходные данные. Сильная асимметрия или выбросы важны, особенно при малых выборках; большая выборка не исправляет смещение или зависимость. Постоянные данные дают арифметический интервал нулевой ширины, но не доказывают отсутствие вариативности в совокупности. Этот интервал одного среднего не является интервалом доли или предсказания.

3. Какой критерий сравнения подходит?

Для критериев независимых выборок наблюдения должны быть независимыми внутри групп и между ними. Само разделение на группы не гарантирует независимость. Измерения до и после у одних и тех же единиц либо у специально сопоставленных единиц являются парными. Равные размеры выборок сами по себе не делают данные парными. Выбирайте вопрос и дизайн до просмотра p-значений.

Ранговые критерии не свободны от предпосылок и не являются универсальными тестами медиан. Если эти схемы не подходят, нужного критерия на странице может не быть. См. официальные описания SciPy: t-критерии для независимых выборок, парные t-критерии, U-критерий Манна — Уитни и критерии знаковых рангов.

4. Введите выборки и направление

1. Откройте Сравнить две выборки и выберите критерий.
2. Выберите Двусторонняя: A отличается от B для любого направления. Используйте одностороннюю альтернативу только если направление выбрано до просмотра результатов.
3. Введите выборки A и B. Независимые критерии принимают те же разделители, что и описательный инструмент. Парные критерии требуют ровно одно число в строке, одинаковое число строк, соответствующий порядок строк и отсутствие пустых строк. Выборки не сортируются по отдельности и не сокращаются без предупреждения.
4. Выберите Выполнить статистический тест. Рассматривайте статистику, размеры выборок, p-значение, метод расчёта и примечания вместе. Скопировать результаты теста включает метод и предостережения. Изменения очищают устаревшие результаты до повторного запуска.

Разности равны A − B. Для t-критериев «A больше B» относится к разности средних генеральных совокупностей; для суммы рангов — к стохастическому порядку; для знаковых рангов — к положительному сдвигу симметричных парных разностей. Каждое поле поддерживает до 10 000 наблюдений и 200 000 символов. Пропуски, заголовки и неверные элементы нужно исправить.

5. Четыре небольших примера сравнения

Эти вымышленные примеры проверяют арифметику. Их крошечные наборы данных не подтверждают выполнение предпосылок реального исследования. Во всех примерах используйте двустороннюю альтернативу, если направление не указано явно.

Независимый t-критерий: отдельные группы

Используйте выборки калькулятора по умолчанию: A = 14, 16, 15, 19, 18, 21 и B = 12, 13, 15, 14, 16, 17. Представьте по шесть разных единиц в каждой группе. Выберите t-критерий для независимых выборок (Уэлча).

Разность средних равна 2.6667; её SE равна 1.3208. Деление даёт t = 2.0190 при числе степеней свободы Уэлча — Саттертуэйта 9.0114 и p = 0.074200. Двусторонний 95%-й интервал разности средних: от −0.3206 до 5.6539. Этот результат не доказывает равенство средних; интервал показывает неопределённость.

Парный t-критерий: сопоставленные строки

Используйте пять сопоставленных единиц, где A — после, B — до. Вводите каждый столбец по одному значению в строке, сохраняя пары строк:

Выберите Парный t-критерий. Среднее разностей равно 2.4 и SE равна 0.5099, что даёт t = 4.7068, df = 4 и p = 0.009262. Двусторонний 95%-й интервал разности средних: от 0.9843 до 3.8157. Модель относится к разностям, а не к отдельной нормальности обоих столбцов; само различие до и после также не доказывает причинность.

Сумма рангов: независимые наблюдения

Выберите Критерий суммы рангов Уилкоксона (U Манна — Уитни), при A = 8, 11, 14, 17 и B = 2, 5, 9, 12. A получает объединённые ранги 3, 5, 7 и 8, поэтому сумма рангов равна W_A = 23 и U_A = 23 − 4 × 5 / 2 = 13. Точное двустороннее p = 0.2. Всего восемь объединённых наблюдений без совпадений, поэтому применяется точный метод.

TinkerMint показывает U для A и U для B в подробностях; он не подставляет меньшее из двух. Инструмент не выдаёт доверительный интервал рангового критерия и не превращает результат в универсальное сравнение медиан.

Знаковые ранги: положительные парные изменения

Выберите Критерий знаковых рангов Уилкоксона. Введите A = 11, 12, 13, 14, 15 и B = 10, 10, 10, 10, 10 по одному числу в строке каждого поля. Пять разностей равны 1, 2, 3, 4 и 5. Их ранги по модулю — от 1 до 5, все положительные, поэтому W+ = 15, W− = 0, а точное двустороннее p = 0.0625.

Если бы положительное направление было задано заранее, Односторонняя: A больше B даёт p = 0.03125. Не меняйте направление, увидев, какое p-значение меньше. TinkerMint всегда показывает W+, даже для двусторонних тестов; некоторые программы вместо этого показывают меньшую из сумм знаковых рангов.

6. Прочитайте о методе и ограничениях

• Точная сумма рангов: нет совпадений в объединённых данных и не более 30 наблюдений всего.
• Точные знаковые ранги: не более 30 пар без нулевых разностей и совпадающих модулей разностей. Повторы только в A или B этого не определяют; важны парные разности.
• Другие ранговые случаи: нормальная аппроксимация с дисперсией, скорректированной на совпадения, и поправкой на непрерывность 0.5. Знаковые ранги исключают нулевые разности до ранжирования (правило Wilcox); совпадающие ненулевые модули получают средние ранги. Показывается фактическое число ненулевых пар.
• Предупреждения для малых выборок: аппроксимация может быть плохой при малых выборках или большом числе совпадений. При нормальной аппроксимации сумма рангов предупреждает, если в любой группе меньше 10 значений; знаковые ранги — если меньше 10 ненулевых пар. При необходимости рассмотрите специализированный точный или перестановочный анализ; калькулятор не выполняет перестановочное моделирование.
• Неопределённый статистический вывод: t-критерий с нулевой SE, сумма рангов при всех совпавших объединённых значениях или знаковые ранги при всех нулевых разностях дают объяснение вместо p-значения.

Это пороговые условия методов и соглашения о статистиках TinkerMint. Другие программы могут выбирать иные настройки, поэтому сравнивайте не только число, но и метод.

Показанный интервал t-критерия всегда двусторонний 95%-й, даже для одностороннего теста. Поэтому он может включать ноль, когда одностороннее p-значение меньше 0.05. Интервалы доступны только для t-критериев, если численно определены.

p-значение описывает согласованность с нулевой моделью при выполнении предпосылок. Это не вероятность истинности нулевой гипотезы, не размер эффекта и не доказательство практической важности. Большое p-значение не доказывает равенство. Множественные тесты, смещённый отбор, зависимость или неподходящее распределение требуют решений, которые калькулятор принять не может.

Числа в браузере сохраняют примерно 15–17 значащих цифр. Исходные значения могут быть нулевыми или иметь модуль от 1e−100 до 1e150. Почти равные значения с большим общим смещением могут слиться, а вычитание в парах — изменить предполагаемые совпадения. Соблюдайте одинаковую точность измерений и при необходимости меняйте масштаб. Непредставимый интервал помечается как недоступный; p-значение при численном исчезновении обозначается как ниже численного предела, а не математический ноль.

7. Хи-квадрат: сравнение частот по категориям

Используйте Критерий хи-квадрат и точный критерий Фишера, когда каждое независимое наблюдение относится к одной категории строки и одной категории столбца. Вводите частоты, а не проценты или измерения. Каждую строку вводите с новой строки; число столбцов должно быть одинаковым, без пропущенных ячеек и пустых строк.

Выберите Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки независимости. Введите 10 10 20 в первой строке и 20 20 20 во второй. Общее число наблюдений: 100. Ожидаемые частоты, рассчитанные как сумма строки × сумма столбца / общая сумма: 12 12 16 и 18 18 24.

Результат: χ² = 2.777777778, df = 2 и p = 0.2493522088. Эти значения совпадают с результатом из примера: критерий хи-квадрат в SciPy. p-значение всегда рассчитывается по правому хвосту распределения хи-квадрат; направленной альтернативы нет. TinkerMint не использует поправку Йейтса и моделирование методом Монте-Карло.

Прочитайте предупреждения об ожидаемых частотах: при малом числе наблюдений в ячейках приближение может быть ненадёжным. Для подходящего дизайна с таблицей 2 × 2 рассмотрите точный критерий Фишера. Нули в отдельных ячейках допустимы, но полностью нулевая строка или столбец делают статистический вывод здесь неопределённым. Оцените роль пустых категорий, прежде чем удалять их.

8. Точный критерий Фишера: небольшая таблица 2 × 2

В разделе Критерий хи-квадрат и точный критерий Фишера выберите Точный критерий Фишера (2 × 2) и Двусторонняя: отношение шансов отличается от 1. Оставьте строки из примера: 6 2 и 1 4. Выборочное отношение шансов: (6 × 4) / (2 × 1) = 12 и p = 0.1025641026.

Если направление выбрано заранее, вариант Односторонняя: отношение шансов больше 1 даёт p = 0.08624708625. Для строк [[a, b], [c, d]] «больше» означает, что шансы попасть в столбец 1 в строке 1 выше, чем в строке 2; «меньше» означает отношение шансов ниже 1. Перестановка двух строк или двух столбцов меняет это направление на противоположное.

Точный критерий Фишера фиксирует наблюдаемые суммы по строкам и столбцам. Двусторонний расчёт по порядку вероятностей суммирует вероятности всех таблиц с теми же суммами, не превышающие вероятность наблюдаемой таблицы, а не удваивает один хвост. Эти результаты совпадают с результатами примера: точный критерий Фишера в SciPy. Ни один из примеров не гарантирует статистическую значимость, выполнение предпосылок или практическую важность; большое p-значение не доказывает независимость.