统计：数据汇总、置信区间与六种检验

1. 从原始数字开始

打开 从你的数字开始。粘贴以逗号、空格、制表符或换行分隔的观测值，然后选择 计算统计量。小数使用英文句点；支持负数和科学记数法。请勿包含标题、单位或千位分隔符： 1,000 会被读取为两个值，即 1 和 0。逗号分隔字段中的空项会被视为错误。

工具接受 1–10,000 个值，最多 200,000 个字符。每个数字权重相同；重复值仍计入。试试默认列表： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

四分位数采用 R 第 7 类插值法。 将数据排序，并使用从零起算的位置 (n − 1) × p。本例第 25 百分位数的位置为 7 × 0.25 = 1.75，因此 Q1 位于第二个与第三个值之间的四分之三处，即 2.75。其他约定可能得到不同的四分位数。请参阅 R 分位数定义.

复制统计量 可复制当前结果和方法说明。修改数据后，旧结果会清除，直到再次计算。只有一个观测值时，可以得到数量、均值及四分位数，但样本方差、标准差、标准误和均值区间至少需要两个观测值。

2. 区分离散程度与不确定性

样本标准差（SD） 描述数据围绕样本均值的离散程度。样本方差为离均差平方和除以 n − 1；标准差是其平方根，单位与原测量单位相同。 标准误（SE） 描述抽样模型下估计均值的不确定性：样本标准差 ÷ n 的平方根。请输入样本标准差，而不是方差或已经算好的标准误。请参阅 NIST 的尺度度量说明.

已有汇总数据？打开“ 已有汇总数据？ ”并输入 n = 25，均值 = 50，样本标准差 = 10。在这个虚构示例中，假定观测值随机且独立，来自总体标准差未知的正态总体。

1. 标准误： 10 ÷ 25 的平方根 = 2.
2. 自由度： 25 − 1 = 24.
3. 95% Student t 临界值： 约 2.0639.
4. 误差界限： 2.06389856 × 2 = 约 4.1278.
5. 均值 ± 误差界限： 约为 45.8722 至 54.1278.

保持均值为 50、标准差为 10，但将假设样本量改为 n = 100，得到 SE = 1，区间约为 48.0158 至 51.9842。实际新增观测值未必使均值或标准差保持不变。 NIST 的 Student t 分布表 解释了这些临界值。

该区间估计的是 总体均值。在反复获得的有效样本中，按此方式构造的区间约有 95% 会包含固定的均值。它既不包含 95% 的单个观测值，也不表示固定均值有 95% 的概率落入这个已经算出的区间。请参阅 NIST 的均值置信限说明.

检查独立性、抽样过程和原始数据。严重偏态或异常值会产生影响，尤其是在小样本下；较大的样本无法修复偏倚或相关性。常数数据会得到宽度为零的算术区间，但不能据此断定总体变异性为零。这个单一均值区间不是比例区间，也不是预测区间。

3. 哪种比较检验合适？

独立样本检验要求观测值 在组内及组间均相互独立。分成不同组本身并不保证独立。同一单位的前后测量，或有意匹配的单位属于 配对数据。样本量相同本身不代表数据配对。请先根据问题和设计选择，再查看 p 值。

基于秩的检验并非无需假设的替代方法，也不是通用的中位数检验。如果这些设计不适合你的研究，本页可能没有合适的检验。请参阅 SciPy 的官方说明： 独立样本 t 检验, 配对 t 检验, Mann–Whitney U 检验，以及 符号秩检验.

4. 输入样本和方向

1. 打开 比较两个样本 并选择检验。
2. 选择 双侧：A 与 B 不同 用于任一方向。仅当在查看结果前已确定方向时，才使用单侧备择假设。
3. 输入样本 A 和样本 B。独立样本检验接受与描述性统计工具相同的分隔符。 配对检验要求每行恰好一个数字、两组行数相等、行顺序相互匹配，且没有空行。 不会单独排序任何一个样本，也不会悄悄缩短样本。
4. 选择 运行统计检验。请结合统计量、样本量、p 值、计算方法和说明一起阅读。 复制检验结果 包括方法和注意事项。修改后旧结果会清除，直到再次运行。

差值定义为 A − B。对于 t 检验，“A 大于 B”指总体均值差；对于秩和检验，指随机排序意义上的大小关系；对于符号秩检验，指对称配对差值向正方向偏移。每个输入框最多支持 10,000 个观测值和 200,000 个字符。缺失值、标题和无效内容必须修正。

5. 四个小型比较实例

这些虚构示例用于核验计算。极小的数据集不能证明实际研究满足假设条件。除非明确说明方向，否则全程使用 双侧 备择假设。

独立样本 t 检验：不同组

使用计算器的默认样本： A = 14, 16, 15, 19, 18, 21 和 B = 12, 13, 15, 14, 16, 17。设想每组有六个不同单位。选择 独立样本 t 检验（Welch）.

均值差为 2.6667；其标准误为 1.3208。相除得到 t = 2.0190，Welch–Satterthwaite 自由度为 9.0114 和 p = 0.074200。均值差的双侧 95% 区间为 −0.3206 至 5.6539。此结果不能证明均值相等；区间呈现了不确定性。

配对 t 检验：匹配行

使用五个匹配单位，A 为之后，B 为之前。每列每行输入一个值，保持行间配对：

选择 配对 t 检验。差值的均值为 2.4 ，标准误为 0.5099，得到 t = 4.7068, df = 4，以及 p = 0.009262。均值差的双侧 95% 区间为 0.9843 至 3.8157。该模型关注差值，而非要求两列各自均为正态分布；单纯的前后差异也不能证明因果关系。

秩和检验：独立观测值

选择 Wilcoxon 秩和检验（Mann–Whitney U），其中 A = 8, 11, 14, 17 和 B = 2, 5, 9, 12。A 在合并数据中的秩为 3、5、7 和 8，因此其秩和为 W_A = 23 和 U_A = 23 − 4 × 5 / 2 = 13。精确双侧检验的 p = 0.2。合并后有八个观测值且无并列，因此使用精确方法。

TinkerMint 报告 A 的 U 值，并在详情中列出 B 的 U 值；不会改用两者中较小的值。本工具不报告秩检验的置信区间，也不会将此结果视为通用的中位数比较。

符号秩检验：正向配对变化

选择 Wilcoxon 符号秩检验。输入 A = 11, 12, 13, 14, 15 和 B = 10, 10, 10, 10, 10，每个框内每行一个数字。五个差值为 1、2、3、4 和 5。其绝对值的秩为 1 至 5，且差值全为正，因此 W+ = 15，W− = 0，精确双侧检验的 p = 0.0625.

如果事先已指定正方向， 单侧：A 大于 B 会得到 p = 0.03125。不要看哪个 p 值较小后再更改方向。TinkerMint 始终显示 W+，双侧检验也如此；某些软件则显示正负秩和中较小的值。

6. 阅读方法与限制

• 精确秩和检验： 合并数据中无并列值，且最多 30 个观测值.
• 精确符号秩检验： 最多 30 对，无零差值，且绝对差值无并列。仅看 A 或 B 内的重复值不能判断是否满足条件，应查看配对差值。
• 其他秩检验情形： 使用含并列校正方差及 0.5 连续性校正的正态近似。符号秩检验在排序前剔除零差值（Wilcox 规则）；绝对值相同的非零差值取平均秩。工具会显示有效非零配对数。
• 小样本警告： 样本较小或并列较多时，近似可能较差。使用正态近似时，秩和检验在任一组少于 10 个值时发出警告；符号秩检验在非零配对少于 10 对时警告。必要时可考虑专业的精确分析或置换分析；本计算器不运行置换模拟。
• 推断无定义： 标准误为零的 t 检验、合并值全部并列的秩和检验，或差值全为零的符号秩检验，均会显示说明而非 p 值。

这些是 TinkerMint 的方法阈值和统计量约定。其他软件包可能采用不同默认值，因此比较时既要看数值，也要看方法。

显示的 t 检验区间始终为双侧 95% 区间，即使选择的是单侧检验。 因此，单侧 p 值低于 0.05 时，区间仍可能包含零。仅 t 检验在数值有定义时提供区间。

p 值描述在假设成立时数据与原假设模型的相容程度。它不是原假设为真的概率，不是效应大小，也不是结果具有实际重要性的证据。较大的 p 值不能证明相等。重复检验、有偏抽样、相关性或不合适的分布，都需要作出计算器无法代劳的判断。

浏览器数值约保留 15–17 位有效数字。原始数据可为零，非零值的绝对值须在 1e−100 至 1e150 之间。基数很大且极接近的数值可能合并，配对相减可能改变预期的并列关系。请使用一致的测量精度，必要时缩放。无法表示的区间会标记为不可用；发生下溢的 p 值会标记为低于数值下限，而非数学上的零。

7. 卡方检验：比较类别频数

使用 卡方检验与Fisher精确检验 ，前提是每个独立观察值各自属于一个行类别和一个列类别。请输入频数，而非百分比或测量值。表格中的每行单独占一行，各行列数须相同，不能有缺失单元格或空白行。

选择 Pearson 卡方独立性检验。输入 10 10 20 作为第一行，再输入 20 20 20 作为第二行。总频数为 100。期望频数按“行合计 × 列合计 / 总合计”计算，分别为 12 12 16 和 18 18 24.

结果为 χ² = 2.777777778, df = 2，以及 p = 0.2493522088，与以下示例一致： SciPy 卡方检验示例。p 值始终使用卡方分布的上尾概率，没有方向性备择假设。TinkerMint 不使用 Yates 校正或蒙特卡洛抽样。

请阅读期望频数警告：稀疏列联表可能使近似结果不可靠。对于适用的 2 × 2 研究设计，可考虑 Fisher 精确检验。个别零值是有效频数，但整行或整列全为零会使本工具中的统计推断无定义。请检查空类别，不要直接忽略并删除。

8. Fisher 精确检验：小型 2 × 2 列联表

在 卡方检验与Fisher精确检验中，选择 Fisher 精确检验（2 × 2） 与 双侧：比值比不等于 1。保留默认的两行数据： 6 2 和 1 4。样本比值比为 (6 × 4) / (2 × 1) = 12，以及 p = 0.1025641026.

如果事先已确定方向， 单侧：比值比大于 1 会得到 p = 0.08624708625。对于两行数据 [[a, b], [c, d]]，“大于”表示第 1 行中第 1 列类别的优势高于第 2 行中该类别的优势；“小于”表示比值比小于 1。颠倒行顺序或列顺序中的任意一个，会使该方向反转。

Fisher 检验以观察到的边际合计固定为条件。双侧计算按概率排序，将固定边际合计下出现概率不高于观察表的所有列联表的概率相加，而非将某一尾概率乘以二。这些结果与以下示例一致： SciPy Fisher 检验示例。这两个示例都不保证统计显著性、假设条件成立或实际重要性；较大的 p 值并不能证明独立性。