你的数据。
更清晰的图景。
汇总数值、了解置信区间、比较样本，或分析各类别的频数。结果清晰，假设条件也一并列明。
实用的小细节。
数据汇总请启用 JavaScript 计算示例。
- 均值（平均数）
- —
- 中位数（中间值）
- —
- 数量（n）
- —
- 总和
- —
- 最小值
- —
- 最大值
- —
- 极差
- —
- 四分位距（IQR）
- —
- 第一四分位数（Q1）
- —
- 第三四分位数（Q3）
- —
- 样本方差（s²）
- —
- 样本标准差（s）
- —
- 均值标准误
- —
- 均值的 95% Student t 置信区间
- —
样本方差和标准差使用 n − 1 作为分母。四分位数采用线性插值。结果最多显示 10 位有效数字；计算使用浏览器的完整精度。假设和限制请参阅下方方法说明。
这些统计量代表什么？
- 数量、总和与均值： 数量是观测值的个数，包括重复值。总和是所有值相加，均值则是总和除以数量。每个粘贴的数值权重相同。
- 中位数与四分位数： 先将数字从小到大排序。中位数是第 50 百分位数，Q1 是第 25 百分位数，Q3 是第 75 百分位数。我们采用线性插值（R 的第 7 类方法）：在分位点 p 处，使用从零起算的位置 (n − 1) × p，并在相邻值之间插值。对于 1、2、3、4，Q1 = 1.75，中位数 = 2.5，Q3 = 3.25。其他四分位数计算约定可能产生不同结果。
- 极差与四分位距： 极差是最大值减去最小值。四分位距为 Q3 减去 Q1，描述数据中间一半的离散程度。
- 样本方差与标准差： 方差等于各观测值与均值之差的平方和除以 n − 1。标准差是方差的平方根，与观测值的单位相同。方差的单位是原单位的平方。只有一个观测值时，样本方差、标准差、标准误及均值区间均无定义。
- 标准误与置信区间： SE = 样本标准差 ÷ √n。双侧 95% 区间为均值 ± t(0.975, n − 1) × SE。它估计的是总体均值，而非包含 95% 观测值的范围。该方法需要适当的随机、独立观测值及合适的总体分布。严重偏态、异常值、选择偏倚或相关性可能使结果不可靠，尤其在小样本下。计算器无法核查这些假设。
- 精度与限制： 浏览器数值约保留 15–17 位有效数字；精度更高的输入会在内部舍入。基数很大且彼此极接近的数值可能变得无法区分。若精度很重要，请对数据重新中心化或缩放。窄到无法表示的置信区间会标记为不可用，其他统计量仍会显示。常数样本的标准差为 0，但这并不能证明总体变异性为零。
方法参考： NIST：离散程度的度量 和 R：样本分位数定义.
两个样本，一次清晰的比较。
选择 t 检验或基于秩的检验，粘贴观测值，查看统计量、p 值和计算方法。请先考虑研究设计，再选择检验。
结果与解读。
比较结果请启用 JavaScript 计算示例。
- p 值
- 检验统计量
- 样本量（A / B）
- 自由度
- 有效非零配对数
- 备择假设
- 计算方法
- 均值差（A − B）
- 均值差 A − B 的双侧 95% 置信区间
在检验假设成立的前提下，p 值越小，表示这些数据与原假设模型越不相容。p 值不是原假设为真的概率，也不衡量实际重要性。较大的 p 值不能证明两者相等。
结果最多显示 10 位有效数字。即使选择单侧检验，t 检验区间也始终是双侧 95% 区间。解读结果前请查看下方的假设和方法。
选择检验并理解假设条件
- 独立样本 t 检验（Welch）： 检验两个独立组的总体均值之差。使用各样本方差及 Welch–Satterthwaite 自由度，不假设方差相等。观测值应相互独立，抽样设计应适当。小样本时，近似正态性和不存在严重异常值尤为重要。
- 配对 t 检验： 检验配对差值 A − B 的均值是否为零。将同一个人或匹配单位的观测值配对，并保持不同配对之间相互独立。配对数较少时，差值应近似正态分布且无严重异常值。A 和 B 各自的分布不必都为正态分布。
- Wilcoxon 秩和检验（Mann–Whitney U）： 使用合并后的秩检验两个独立分布。要将结果解读为位置或中位数差异，需要分布形状相同。我们显示样本 A 的 U 值及其秩和 W_A。U 越大，越支持 A 较大。仅当合并数据无并列值且观测值总数不超过 30 时，才使用精确 p 值；否则使用含并列值校正及连续性校正的正态近似。含并列值的小样本近似结果可能不可靠。
- Wilcoxon 符号秩检验： 在差值分布对称且各配对相互独立的假设下，检验配对差值是否以零为中心。对每种备择假设，我们均显示 W+，即 A − B 为正的差值的秩之和。排序前先剔除零差值；绝对差值相同者取平均秩。仅在无零差值、绝对差值无并列且配对数不超过 30 时使用精确 p 值；否则使用含并列值校正及连续性校正的正态近似。同时报告有效非零配对数。
- 方向与不确定性： t 检验的原假设为均值差为零，秩和检验为两分布相同，符号秩检验为差值分布关于零对称。若考虑任一方向，请选双侧；若选单侧，应在查看数据前确定方向。对于符号秩检验，“大于”表示 A − B 向正方向偏移。95% 均值差区间仅适用于 t 检验，且始终为双侧区间。在 5% 阈值下，它可能与单侧 p 值给出的判断不一致。
- 限制： 在本工具中，标准误为零的 t 检验、合并值全部并列的秩和检验，或所有差值均为零的符号秩检验，其推断均无定义。我们会显示说明，而不会给出误导性的 p 值。不使用蒙特卡洛抽样。计算器无法核查你的研究设计、独立性、分布形状，或多重检验是否需要校正。
- 精度： 浏览器数值约保留 15–17 位有效数字。极接近的值可能舍入为同一数字，配对相减也可能改变并列情况。请检查测量精度，并考虑在输入前重新中心化或缩放。显示时的舍入不改变内部计算。小于浏览器运算所能表示范围的 p 值会标记为低于数值下限，绝不会显示为精确的零。
方法参考：SciPy 的 独立样本 t 检验, 配对 t 检验, Mann–Whitney U 检验，以及 Wilcoxon 符号秩检验。本计算器的精确方法阈值和 W+ 报告约定已在上方说明；不同软件包的默认设置可能不同。
卡方检验与Fisher精确检验
使用 Pearson 卡方检验或 2 × 2 Fisher 精确检验，检查列联表中的关联。
结合背景解读表格。
关联请启用 JavaScript 计算示例。
- p 值
- 检验统计量
- 自由度
- 样本比值比（a × d / (b × c)）
- 总频数
- 表格大小
- 备择假设
- 计算方法
p 值并不是原假设为真的概率。这些检验不能确立因果关系、实际重要性或研究设计的有效性。结果最多显示 10 位有效数字。
列联表检验的假设条件与方法
- 每个独立观察值只能计入一个单元格。请使用频数，不要使用百分比、测量值、配对回答，或将重复观测当作独立观测计数。
- Pearson 卡方检验将观察频数与“行合计 × 列合计 / 总合计”进行比较。自由度为（行数 − 1）×（列数 − 1）。期望频数过小会使其近似结果不可靠。本工具不使用 Yates 校正或蒙特卡洛抽样。
- Fisher 精确检验以 2 × 2 列联表的行合计和列合计固定为条件。其双侧 p 值按概率排序计算，并非将较小的单侧尾概率乘以二。颠倒行顺序或列顺序中的任意一个，会使比值比的方向反转。
- 允许个别单元格为零。如果某一整行或整列全为零，本工具中的检验将无定义；决定是否删除空类别前，请先检查这些类别。样本比值比为零或无穷大本身并不会使 Fisher 检验的 p 值无定义。
参阅 卡方检验计算示例 和 Fisher 精确检验计算示例。方法参考：SciPy 的 卡方独立性检验 和 Fisher 精确检验.
已有汇总数据？
使用样本量、均值和样本标准差，计算标准误及均值的 95% 置信区间。
区间与解读。
95% 区间显示结果舍入至 6 位有效数字；计算使用完整精度。上方线条仅为示意，并非密度图。
结果对应上一次计算。修改输入后请重新计算。
由 TinkerMint 计算 · 根据所示输入得到的估算结果。
95% 意味着什么？
如果以相同方式反复抽样，每次都构造一个区间，那么在方法假设成立时，这些区间中约有 95% 会包含真实的总体均值。
这不意味着 95% 的单个观测值位于该区间内，也不意味着固定的总体均值有 95% 的概率位于这一个特定区间内。
检查假设条件。
- 观测值应来自适当的随机样本，且相互独立。增大样本量无法消除选择偏倚或相关性。
- 对于正态总体，t 区间是精确的。小样本中的严重偏态或异常值可能使其不可靠；在适当条件下，增大样本量可能有所帮助。
- 汇总统计量无法揭示异常值、偏态、聚类或存在缺陷的抽样过程。请检查原始数据和研究设计。
这是用于学习的计算器，不能替代针对具体研究的统计分析。
计算原理。
使用了什么公式？
标准误 = s ÷ √n。区间为 x̄ ± t(0.975, n − 1) × s ÷ √n，其中 s 为样本标准差，x̄ 为样本均值。双侧 95% 区间在 Student t 分布的两侧尾部分别保留 2.5%。
为什么使用 Student t，而不是 1.96？
当总体标准差未知、需用样本估计时，Student t 分布会考虑这部分额外不确定性。小样本下临界值较大；随着自由度增加，临界值趋近标准正态分布对应值。
如果样本标准差为零会怎样？
公式会得到宽度为零的区间。这只是算术结果，并不能证明总体没有变异性。请检查测量分辨率、数据质量及模型是否适用。
方法参考： NIST：均值的置信限 和 NIST：Student t 临界值.